Composição e Decomposição de Forças

Através de atividades realizadas numa mesa de forças, identificar e determinar a equilibrante de um sistema de duas forças colineares ou não-colineares e calcular a resultante de duas forças utilizando método algébrico e geométrico. Comprovar o efeito de mudança de ângulo no módulo da força resultante.

Forças são definidas como grandezas vetoriais em Física. Com efeito, uma força tem módulo, direção e sentido e obedecem as leis de soma, subtração e multiplicação vetoriais da Álgebra. Este é um conceito de extrema valia, pois comumente o movimento ou comportamento de um corpo pode ser estudado em função da somatória vetorial das forças atuantes sobre ele, e não de cada uma individualmente. Por outro lado, uma determinada força pode também ser decomposta em subvetores, segundo as regras da Álgebra, de modo a melhor analisar determinado comportamento.

Advém da compreensão da força como uma grandeza vetorial a definição da Primeira Lei de Newton. Esta lei postula que:

Considerando um corpo no qual não atue nenhuma força resultante, este corpo manterá seu estado de movimento: se estiver em repouso, permanecerá em repouso; se estiver em movimento com velocidade constante, continuará neste estado de movimento.

Os experimentos a seguir ajudarão a demonstrar o comportamento algébrico e geométrico de duas forças. O formato de apresentação dos experimentos procurará acompanhar o roteiro que faz parte do material usado. A discussão, quando apropriado, far-se-á intercalada à descrição dos experimentos.

Determinou-se o peso F₁ do um conjunto de massa m formado por um gancho lastro mais duas massas acopláveis.

F₁ = 1,154 N

Uma roldana foi afixada na posição 0^o da mesa de forças, e o conjunto de massa m, através do cordão, foi passado por ela e afixado no anel central. Ver Figura 3.

A fim de conferir equilíbrio ao sistema, uma segunda força F_e, denominada equilibrante, será aplicada segundo direção e sentido apropriados. A fim de obter tal façanha, prendeu-se o conjunto de suporte com o dinamômetro na ponta oposta da massa m, de modo que o anel central que prende os ganchos com fios ficasse centrado no pino existente no meio do disco de forças.

Alinhou-se a altura do dinamômetro com a altura da mesa de forças, de modo a que os fios de ligação ficassem paralelos à mesa, mas que não a tocassem, evitando assim forças de atrito indesejáveis. Batendo com o dedo levemente sobre a mesa e sobre a capa de proteção do dinamômetro, tensões foram aliviadas enquanto movia-se o conjunto do dinamômetro, mantendo o anel centrado no meio da mesa. Ver novamente a Figura 3.

Criou-se, assim, um sistema de duas forças de mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos, que equilibraram o conjunto de massa m numa ponta. Uma das forças é a força peso exercida pelo conjunto de massa, e a outra força é exercida pelo dinamômetro. Fazendo a leitura do dinamômetro, obteve-se o valor:

F_e = 1,18 N

Este valor é muito próximo da força F₁ anteriormente medida do conjunto de massa, que foi de 1,154N. Imprecisões do dinamômetro e influência de forças de atrito e inércia rotacional da roldana e fio resultam na diferença encontrada, uma vez que a teoria prevê valores idênticos. Entretanto, o fato de que o sistema não se movimenta indica a existência do equilíbrio, independente dos valores lidos no dinamômetro. Veja Figura 4 para uma ilustração das forças atuantes.

Se o sistema está em equilíbrio e não apresenta movimento, conclui-se que nenhuma força resultante deverá estar agindo sobre ele. Assim, a força equilibrante F_e anula completamente a força peso F₁.

Acrescentando outra massa de peso 0,5N ao conjunto de massa m, novamente movimentou-se o dinamômetro de modo a posicionar o anel no centro da mesa de forças. Fez-se nova leitura então do dinamômetro, que representa a força equilibrante F_e.

F_e = 1,68 N

Conclui-se que esse peso de 0,5N foi somado em módulo à força F_e, que apresentou um aumento de precisos 0,5N. É lícito então afirmar que duas forças colineares de sentidos opostos se subtraem. No experimento acima, como os módulos eram idênticos, o resultado foi um vetor zero.

Da mesma maneira, é possível afirmar que o vetor força resultante de duas ou mais forças colineares de mesmos sentidos é a somatória dos módulos de cada vetor força. É precisamente o que ocorreu na adição de um peso de 0,5N ao conjunto de massa m no experimento acima. Um vetor força peso de módulo 0,5N, de mesmo sentido e direção que o vetor peso anterior de 1,154N foi a ele somado. Graficamente, isso pode ser representado conforme observado na Figura 5.

Em I, os vetores F1 e F2 são somados, posicionando-se a origem do vetor F2 coincidente com a extremidade do vetor F1. O vetor resultante então é traçado da origem de F1 à extremidade de F2, conforme as regras geométricas da somatória vetorial. Na subtração, em II, F2 é subtraído de F1, posicionando-se pois a origem de F2 na extremidade de F1 e traçando-se então o vetor resultante da origem de F1 à extremidade de F2. Observar que F2 em II é o mesmo vetor F2 em I, porém de sentido oposto. A resultante é portanto menor. Tomando-se F1 e F2 de mesmo módulo, é óbvio que a resultante seria zero, conforme demonstrou-se no experimento.

Mesmo do experimento anterior.

Procedimento e Discussão

Tomou-se dois conjuntos de massa com pesos F₁ e F₂, medidos com o dinamômetro, conforme abaixo:

F₁ = 0,66N

F₂ = 0,66N

 

Montou-se esses pesos na mesa de forças conforme a Figura 6.

O dinamômetro foi movimentado até que o anel ficasse centrado no pino da mesa de forças. Inicialmente escolheu-se um ângulo qualquer entre F₁ e F₂ e fez-se uma leitura no dinamômetro. À medida em que o ângulo entre estas forças foi sendo ajustado de modo a aumentar, percebeu-se que o dinamômetro tendia a indicar forças menores. Chegou-se a um ângulo de 180^o entre as forças, e o dinamômetro indicou zero. Isso é consistente com a regra de soma vetorial. Vejamos a Figura 7.

O vetor resultante de F₁ e F₂, traçado com auxílio de um paralelogramo conforme indicado na figura, tem mesmo módulo, direção e sentido oposto ao vetor F_e, que é o valor indicado no dinamômetro. Ao aumentar o ângulo entre F₁ e F₂, este vetor resultante vai diminuindo em módulo, conforme foi indicado no dinamômetro. Se este ângulo chega a 180^o , isso significaria vetores colineares e de sentidos opostos. Como têm o mesmo módulo, anular-se-iam mutuamente e o resultante seria zero.

Por outro lado, diminuindo-se o ângulo entre F₁ e F₂ até chegar a 0^o, a resultante seria a soma dos módulos de ambos. Assim sendo, tomando a equação vetorial:

F_r = F₁ + F₂

F_r atinge valor máximo quando o ângulo entre os vetores F₁ e F₂ for de 0^o, sendo F₁ e F₂ de mesmo sentido. F_r atinge seu valor mínimo, ou zero, quando o ângulo é 180^o.

Mesmo do experimento anterior.

O objetivo deste experimento é determinar o ângulo a entre duas forças F₁ e F₂, de mesmo módulo, de modo que uma terceira força F₃ de módulo igual às anteriores equilibre o sistema. Usando a Lei dos Cossenos adaptada para o formato abaixo:

é possível determinar algebricamente este ângulo. Esta é uma equação modificada da Lei dos Cossenos pois considera o menor ângulo formado pelos vetores (que são posicionados de forma a terem a mesma origem). Este menor ângulo é o suplemento do maior ângulo formado se se posicionar a origem de um vetor na extremidade de outro. Como cos(180-a ) = -cos(a ), o sinal do termo 2F₁F₂cosa é positivo, ao invés do esperado negativo da Lei dos Cossenos. Ver Figura 8.

Determinou-se então algebricamente o ângulo necessário para estabelecer equilíbrio entre as forças. Tomando F₃ = F₂ = F₁ = F, vem:

A fim de comprovar este valor experimentalmente, tomou-se dois pesos F de módulos iguais, 0,66N, e montou-se todo o conjunto sobre a mesa de forças de modo que o ângulo entre todas as forças fosse de 120^o. Ver Figura 9.

Obteve para a leitura do dinamômetro o valor da força equilibrante F_e.

F_e = 0,65N

Usando-se a Lei dos Cossenos, calculou-se o valor teórico a ser obtido no sistema para o módulo da força F_e. Assim,

Comparando-se este valor com o achado experimentalmente, vem:

Um erro consideravelmente baixo, levando em conta que desconsiderou-se para efeito de cálculo influência do atrito das roldanas, inércia rotacional das mesmas e erros de leitura e precisão do dinamômetro. De fato, pois, o ângulo de 120^o é o indicado para equilibrar três forças de iguais módulos e mesma origem.

A equação

pode portanto ser usada para calcular o módulo da força resultante de quaisquer forças coplanares, sabendo-se o menor ângulo entre elas e tendo a origem dos vetores num ponto comum.

Os experimentos realizados puderam demonstrar as fórmulas e teorias algébricas da composição e decomposição de vetores, ou seja, a soma vetorial e a resultante de vetores. Foi possível experimentar várias configurações diferentes de pesos e ângulos e observar de imediato as alterações e influência, registradas no dinamômetro.

O experimento com forças concorrentes foi de especial valia, pois com ele podia-se vislumbrar o efeito na resultante do ângulo formado pelas forças e serviu de comprovação irrefutável do ângulo fixo e constante que equilibra três forças de mesmo módulo e origem. Esta é uma configuração comum e importante em geradores de corrente alternada trifásicos, obtendo-se aproximadamente 380 Volts de três fases de 110 V em ângulos de 120^o.

Halliday, David et al. (1992) Física 1; vol. I, 4. Edição; LTC Livros Técnicos e Científicos S.A., Rio De Janeiro, RJ; p. 34 a 42 e 72 a 77.

A idéia de força é bastante relacionada com a experiência diária de qualquer pessoa: sempre que puxamos ou empurramos um objeto, dizemos que estamos fazendo uma força sobre ele.

É possível encontrar forças que se manifestam sem que haja contato entre os corpos que interagem. Por exemplo: um imã exerce uma força magnética de atração sobre um prego mesmo que haja certa distância entre eles; um pente eletrizado exerce uma força elétrica de atração sobre os cabelos de uma pessoa sem necessidade de entrar em contato com eles; de forma semelhante a Terra atrai os objetos próximos à sua superfície, mesmo que eles não estejam em contato com ela.

Imagine que uma pessoa lhe informe que exerceu sobre uma mola seu esforço muscular, deformando-a Apenas com essa informação, você não pode fazer idéia de como foi essa deformação, pois o esforço pode Ter sido feito inclinadamente, verticalmente ou horizontalmente. Se ela acrescentasse que o esforço foi feito na vertical, ainda assim voc6e poderia ficar na dúvida se o esforço foi dirigido para baixo ou para cima. Assim você só pode ter uma idéia completa da força se a pessoa lhe fornecer as seguintes informações:

Sendo fornecidas essas características, módulo, direção e sentido, a força fica completamente conhecida. A força faz parte de um conjunto de grandezas da física, tais como a velocidade e a aceleração, por exemplo, denominadas grandezas vetoriais, que só ficam determinadas quando essas características são indicadas.

Quando vamos medir uma grandeza, precisamos escolher uma unidade para realizar a medida. No caso da força, uma unidade muito usada na prática diária é 1 quilograma-força, que se representa pelo símbolo 1 Kgf. Esta unidade é o peso de um objeto, denominado quilograma-padrão, que é guardado na Repartição Internacional de Pesos e Medidas, em Paris, na França.

Obs.: 1 quilograma-força (1Kgf) é a força com que a Terra atrai o quilograma-padrão (isto é, o seu peso) ao nível do mar e a 45º de latitude.

O Kgf não é a unidade de força do SI, a unidade de força nesse sistema é denominada 1newton = 1N, em homenagem a Issac Newton. A relação entre essas duas unidades é:

1Kgf = 9,8N

Portanto, a força de 1N é aproximadamente igual a 0,1Kgf (praticamente igual à força que a Terra exerce sobre um pacote de 100g).

Se empurrarmos um livro sobre uma mesa, perceberemos que ele só se movimenta enquanto estiver-mos exercendo uma força sobre ele. Se deixar-mos de empurrá-lo, ele vai para quase instantaneamente. Observações como esta levaram o filósofo grego Aristóteles a estabelecer a seguinte conclusão:

Esta interpretação de Aristóteles, formulada no século IV aC, foi aceita até a época do renascimento (século XVII).

Galileu acreditava que qualquer estudo sobre o comportamento da natureza deveria ter por base experiências cuidadosas. Realizando então, uma série de experiências com corpos em movimento, ele concluiu, por exemplo, que sobre o livro que é empurrado em uma mesa atua também uma força de atrito, que tende sempre a contrariar o seu movimento. Assim de acordo com galileu, se não houvesse atrito o livro não pararia quando cessasse o empurrão, ao contrário do que pensava Aristóteles.

Várias experiências do nosso cotidiano comprovam as afirmações de Galileu. Assim, temos:

Esses exemplos, e vários outros que nós já devemos ter observado, mostram que os corpos têm a tendência de permanecer como estão: continuar em repouso, quando estão em repouso, e continuar em movimento, quando estão se movendo. Esta propriedade dos corpos de se comporterem dessa maneira é denominada inércia. Então:

Vários anos mais tarde, após Galileu Ter estabelecido o conceito de inércia, Issac Newton, ao formular as leis básicas da mecânica, conhecidas como "as três leis de Newton", concordou com as conclusões de Galileu e usou-as no enuciado de sua primeira lei:

Logo, tanto Galileu quanto Newton perceberam que um corpo pode estar em movimento sem que nenhuma força atue sobre ele. Observe que, quando isto ocorre, o movimento é retilíneo uniforme.

Considere a situação mostrada na figura 1, na qual duas pessoas exercem sobre um bloco as forças F e S mostradas. Quando duas ou mais forças atuam sobre um corpo, muitas vezes temos necessidade de substituí-las por uma força única, capaz de produzir o mesmo efeito que elas, em conjunto, produzem. Esta força única é denominada resultante das forças consideradas.

As forças têm a mesma direção e o mesmo sentido

Esta é a situação mostrada na figura 1. Neste caso, a experiência mostra que a resultante R, do sistema, tem a mesma direção e o mesmo sentido das componentes (F e S) e seu módulo é dado por R = F + S (soma dos módulo das componentes).

Neste caso (ver figura 2), a resultante R tem a mesma direção das componentes (F e S), mas seu sentido é aquele da força de maior módulo. O módulo de R é dado por R = F – S (diferença entre os módulos das componentes).

Na figura 4 mostramos uma esfera de peso P sendo sustentada por uma pessoa que exerce sobre a esfera uma força F. Suponha que o módulo de F seja tal que F = P. Temos assim, atuando sobre a esfera, duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários. Pelo que vimos anteriormente, é claro que a resultante das forças que atuam na esfera é nula, isto é, R = 0. Esta situação é, então, equivalente àquela em que nenhuma força atua sobre a esfera. Podemos, pois, concluir, pela primeira lei de Newton, que a esfera estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Quando isto ocorre, dizemos que a esfera está em equilíbrio.